科學角度看音響2 ：頻譜到傅立葉轉換，再看失真4大主因

上一篇水電工講解了一些的聲紋模式，也談到了大多音響研發者追求的聲音。這一期，我們就來看看許多研發者的惡夢「失真」。在進入主題前我們先來談談一些常用來討論的工具，先從頻譜來了解吧！

水電工前輩們發展通訊及訊號處理時，常常會用到頻率的概念，比如AM廣播，就是用可以產生無線電的高頻，直接以乘法器乘上我們要掛載的低頻，之後把高頻濾掉就變回原來低頻訊號。這部分的理論基礎是馬克斯威爾的電磁波理論，往後水電工們都知道只有高頻率的電流變化才會產生無線電。

頻譜與轉換公式

我們可以建立「訊號是包括不同頻率」的基本觀念，在數學線性代數中也證明線性向量空間是可以進行轉換的，也就是說1個函數可以在2個不同基底向量的空間中被對映，但前提是這些基底之間有固定的轉換關係。這也造就了不少的轉換方式，比如拉普拉斯轉換以及傅立葉轉換正餘弦轉換等等。

從訊號到頻譜

在頻譜當中，最常被用到的就是傅立葉轉換，現有的頻譜觀念全部都是由傅立葉轉換而來。傅立葉轉換有個很大的特點，就是在物理上來說，它將1個複雜的訊號，透過積分對映成以自然對數在複數空間為基底的向量空間。看到這別急著把書丟掉，我們講得白話一點，傅立葉轉換就是把時域中的訊號，轉換並排列成由小到大自然對數週期波的組合方式。

假設一個橫軸為時間，縱軸為振幅的訊號s(t)，做完傅立葉轉換後取取正值方向得到的結果是A*δ(ωo)+B*δ(ω1)+C*δ(ω2)。那我們就可以說這個訊號原來是由頻率為ωo、ω1、ω2、的三個波所組成，而頻率為ωo的波所占能量大小為A，頻率為ω1的波所占能量大小為B，頻率為ω2的波所占能量大小為C。另外，我們處理圖形和音樂壓縮常用的餘弦轉換法，則是把時間軸換成頻率由低到高的cos波。

▲基底轉換對映看起來很複雜實則不然，好比圖A的X軸，若是換成X/2基底，就成了圖B，剛剛好寬度變成1倍，圖B的右半部曲線超過圖片範圍因此沒畫出來

頻譜基礎傅立葉轉換

由於自然對數在複數空間的循環、物理和數學上有其特殊性，所以傅立葉轉換也成為分析頻譜的最佳方式。可將所得到的時間與能量組合的訊號圖，轉成為由正弦波頻率以及能量組合的訊號圖。它是不是這麼好用呢？我們來看看範例，水電工用了4組正弦及餘弦波做出如圖C這亂八糟的訊號。但是做完傅立葉分析後馬上就得到更清晰的結果。原來這是由頻率為1、3、6、40的4組能量波組成的訊號，做處理後可分析地一清二楚。另外，若我們認為頻率最高的那個波是雜訊，像是圖D中為頻率40的波，我們把它去除掉後再做反傅立葉轉換，就能得到其它3組我們要的訊號，結果就是圖E。

▲這是水電工組合了4組不同訊號的怪波形，X軸是時間，Y軸則是振幅，未經過轉換無法看出訊號內容

▲經過傅立葉轉換後，可看出圖C的訊號內有4組不同的能量，分別在頻率1、3、6、40處

▲若要清除雜訊，假設雜訊是頻率40，將頻率40設為0，再透過反轉換就能得到去除雜訊的波形圖