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莫比烏斯帶是一種奇特的數學結構。要構造一個這樣美麗的單面曲面其實非常簡單，即使是小孩子也可以輕鬆完成。你只需要取一張紙帶，扭曲一次，然後將兩端黏在一起。然而，這樣容易製作的莫比烏斯帶卻有著複雜的性質，長期吸引著數學家們的興趣。
最近，研究人員一直被一個看似簡單的問題困擾著，那就是關於製作莫比烏斯帶所需紙帶的最短長度？布朗大學理查·史瓦茲（Richard Evan Schwartz）談到，對於莫比烏斯帶來說，這個問題沒有解決，因為它們是「嵌入的」而不是「浸入的」，這意味著它們不會相互滲透或自我相交。莫比烏斯帶實際上是一個全息圖，一種投影到3D空間的圖形：對於「浸入的」的莫比烏斯帶，多層帶可以彼此重疊，有點像幽靈穿過牆壁；對於「嵌入的」的而言，沒有這樣的重疊。
1977 年，數學家查爾斯·西德尼·韋弗（Charles Sidney Weaver）和班傑明·瑞格勒·哈爾珀恩（Benjamin Rigler Halpern）提出了這個關於最小尺寸的問題，並指出如果允許莫比烏斯帶自相交，那麼這個問題就簡單了。那麼，剩下的問題就是要確定需要多少空間來避免自交。哈爾珀恩 和韋弗曾提出了一個最小尺寸，但他們無法證明這一想法，因此被稱為 Halpern-Weaver 猜想。
史瓦茲在四年前首次瞭解到這個問題，在得知後就被這個問題深深吸引住。現在，他的興趣已經變為新的成果了。
他在 2023 年 8 月 24 日發佈在 arXiv.org 上的一份預印本論文中證明了 Halpern-Weaver 猜想。他證明了用紙製成的「嵌入的」莫比烏斯帶只能以大於的縱橫比構造出來。例如，如果帶子長度為 1 公分，它的寬必須要大於公分。
解決這個難題需要數學創造力。當人們採用標準方法來解決這類問題時，很難透過公式來區分自相交和非自相交的曲面。具備史瓦茲的幾何視覺才能夠克服這個困難，但這是很罕見的。
在史瓦茲的證明中，他設法將問題分解為可以處理的部分，每個部分基本上只需要基本幾何知識來解決。
其實，在找到成功的策略之前，史瓦茲在幾年裡斷斷續續地嘗試了其他策略。他最近決定重新審視這個問題，因為他一直覺得他在 2021 年的一篇論文中使用的方法應該是有效的。
顯然，他的直覺是正確的。當他重新研究這個問題時，他注意到在以前的論文中涉及 T 型圖的引理中存在一個錯誤。透過糾正這個錯誤，史瓦茲迅速而輕鬆地證明了 Halpern-Weaver 猜想。史瓦茲自己也說，如果不是因為那個錯誤，他三年前就能解決了這個問題。
在本次證明中，T 型圖引理是關鍵。這個引理基於一個基本的想法：莫比烏斯帶上有些直線被稱為直紋曲面。史瓦茲指出在空間中的紙帶，即使它在某些複雜的位置，在每個點上仍然都有一條直線穿過它，你可以想像畫這些直線，讓它們橫穿莫比烏斯帶並在兩端觸及邊界。
在之前的工作中，史瓦茲確定了兩條互相平行並且在同一個平面上的直線，它們在每個莫比烏斯帶上形成了一個 T 型圖案。他指出，這些東西存在並不明顯，需要證明它們存在，這也是證明引理的第一部分。
下一步是建立並解決最佳化問題，需要沿著帶寬度延伸的線段以一個角度切開一個莫比烏斯帶，並得到最終的形狀。史瓦茲在 2021 年的論文中錯誤地得出了這個形狀是平行四邊形的結論。
今年夏天，史瓦茲決定嘗試不同的策略。他開始嘗試把莫比烏斯帶壓扁。如果能夠證明可以將它們壓成平面，這個複雜的問題將簡化為一個更容易處理的平面問題。在實驗中，史瓦茲切開了一個莫比烏斯帶，並意識到它不是平行四邊形，而是一個梯形。
最終，這個 50 年來的問題得到了解答。嘗試解決一個長期未解決的問題是需要勇氣的，而這正是史瓦茲在數學上的優勢：他喜歡研究那些看起來相對容易但其實很難的問題。他會看到以前研究者沒有注意到的問題。
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