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你是否曾因無法安排到一個合適的時間開會而感到抓狂？別著急，你並不孤單。從學生時代的小組討論到職場上的專案會議，安排時間似乎永遠是一個難題。為此，甚至還有學者設計了數學模型想要破解「喬會議」的秘密。
美國凱斯西儲大學 (Case Western Reserve University)的深入探討了這項常見任務的數學複雜性，隨著參與者數量的增加，尋找合適的會議時間的複雜度變得多麼具有挑戰性。
凱斯西儲大學研究員Harsh Mathur 表示，隨著參與者數量的增加，隨著參與者數量的增加，需要輪詢的潛在會議時間數量呈指數級增長。安排一次成功會議的可能性急劇下降。具體來說，當參與人數超過4人以上時，機率會顯著下降。
「這個計畫一開始是半開玩笑的，但這種指數級的行為引起了我們的注意。它表明，安排會議是一個難題，與計算機科學中的一些重大問題一樣。」 Mathur 表示。
有趣的是，研究人員發現日程安排困難和物理現象之間存在相似之處。他們觀察到，隨著參與者拒絕提議的會議時間的可能性增加，存在一個臨界點，超過這個臨界點，成功安排會議的可能性急劇下降。Mathur 表示，這種現象類似於物理學中所謂的「相變」，例如冰融化成水。
「像安排會議這樣平凡事情，竟然能夠反映相變的複雜性。」
馬圖爾也指出了這項研究的更廣泛的影響，從在餐廳分享開胃菜等休閒場景到起草氣候政策報告等更複雜的場景，這些場景需要許多人達成一致。
「建立共識很困難，」馬圖爾說。 「就像相變一樣，它很複雜。但這也是數學之美所在——它為我們提供了理解和量化這些挑戰的工具。
馬圖爾表示，這項研究有助於深入了解群體協調和決策的複雜性，並在各個領域都有潛在的應用。
研究簡介摘要
在基礎模型中，假設有 l 個可供選擇的會議時間段，參與投票的有 m 個與會者，每個與會者由於其他安排，無法參加其中的 r 個時間段。因此，每個與會者可以參加g=l−r個時間段。投票表上有 l 列對應不同的時間段，m 行對應不同的與會者，每個與會者可以以C(l,r) 的不同方式填寫他們可以參加的時間段，所有可能的投票組合數量為：
N=[C(l,r)]m
通過此模型得出一個有趣的結果：如果與會者每週的日程固定，那麼安排超過四個人的會議失敗的概率會顯著增加。假設每週有 40 個可用時間段，每個參與者能參加其中的一半，那麼安排四個人會議的失敗概率為 7.5%，但如果人數增加到五人，失敗概率將上升到 28%。
研究表明，當 m很大時，失敗的概率會隨著 l 指數增長，即安排成功的時間段數需要指數級增加。
這提出了一個有趣的問題：會議安排是否是一個指數難度的問題？儘管通過遍歷所有可能的時間安排確實是指數級的，但作者認為可能存在更聰明的方式來進行時間安排，以使其複雜度僅為多項式級別。
文章最後還討論了模型的幾個簡單推廣。比如，可以考慮兩個不同的與會者群體，每個群體有不同的衝突安排。作者還指出，現實中的投票失敗可能是由於更複雜的動態現象（如某個與會者拖延回應），這些因素可以在未來的模型中加入。
總體來說，本文不僅在安排會議這一簡單問題上提供了新的統計學見解，還展示了如何將這一模型應用於更廣泛的共識構建問題，如氣候峰會的談判或餐廳中朋友之間的點菜決策。未來的研究可能還會探索更複雜的模型，結合行為經濟學來進一步理解如何在投票中得到更好的結果。
論文下載網址：
https://link.springer.com/article/10.1140/epjb/s10051-024-00742-z
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