9個改變世界的方程式，你能看懂幾個？

數學方程是我們瞭解世界的獨特窗口，它們讓現實變得有意義，幫助我們看到以往未曾注意到的東西。因此，數學上的新進展往往伴隨著我們對宇宙的理解進一步加深。接下來，就讓我們來瞭解一下歷史上著名的9個方程式，從微小的粒子到浩瀚的宇宙，它們徹底改變了人類看待世間萬物的方式。

勾股定理

人們在學校學到的第一個重要的三角函數，也是直角三角形邊長之間的關係：兩條直角邊（較短的直角邊舊稱勾長，較長的直角邊舊稱股長）的長度的平方和等於斜邊長（舊稱弦長）的平方。這條定理通常被寫為：a^2 + b^2 = c^2。從古巴比倫時代起，該定理至少已存在了3700年。

勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。英國蘇格蘭聖安德魯斯大學的研究者認為，古希臘數學家畢達哥拉斯寫下了該方程式，也因此現代西方數學界稱其為「畢達哥拉斯定理」。除了在建築、導航、製圖外，勾股定理還幫助擴展了數字的概念。

公元前5世紀，梅塔龐通（Metapontum）的數學家希帕索斯注意到，如果一個等腰直角三角形兩條腰長度為1，則其底邊長便是根號2（），這是一個無理數（在此之前的歷史中，還沒有人見過這樣的數）。根據劍橋大學的一篇文章，希帕索斯是被扔進海裡的，因為畢達哥拉斯的追隨者（包括希帕索斯）對所謂的「無限不循環小數」感到非常震驚和恐慌。當時的畢達哥拉斯學派認為「萬物皆數」，世界上只有整數和分數（有理數），希帕索斯的發現引發了第一次數學危機。

F = ma和萬有引力定律

艾薩克‧牛頓是英國乃至人類科學史上最傑出的人物之一，提出了大量改變世界的發現，其中就包括牛頓第二運動定律。該定律指出，力等於物體的質量乘以加速度，通常寫作F = ma。透過對這一定律的擴展，結合其他實驗觀測結果，使牛頓在1687年描述了我們今天所謂的萬有引力定律：F = G （m1 * m2） / r^2，其中F是兩個物體之間的萬有引力，m1和m2是兩個物體的質量，r是它們之間的距離；G是一個基本常數，稱為萬有引力常數，它的值必須透過實驗測量。

據記載，卡文迪許首次在實驗室內完成了測量兩個物體之間萬有引力的實驗，準確求出了萬有引力常數和地球質量，其他人則藉助他的實驗結果求得了地球密度。

牛頓第二定律被譽為經典力學的靈魂，能夠主導各種物體運動和物理現象，其用途也非常廣泛。牛頓運動定律的許多概念也被用於理解各種複雜的物理系統，包括太陽系中行星的運動，以及如何使用火箭在它們之間旅行。

波動方程式

利用牛頓提出的運動定律，18世紀的科學家們開始分析他們周圍的一切。據2020年發表在《歷史研究進展》（Advances in Historical Studies）雜誌上的一篇論文介紹，博學多才的法國物理學家、數學家和天文學家讓‧勒朗‧達朗貝爾在1743年推導出了一個描述弦振動或波動現象的方程式。該方程式可以寫作：

1/v^2 * ∂^2y/∂t^2= ∂^2y/∂x^2

在這個方程式中，v是波的速度，其他部分描述的是波在一個方向上的位移。利用擴展到二維或多維的波動方程式，研究人員得以預測水、地震波和聲波的運動。該方程式也是量子物理學中薛丁格方程式的基礎，後者使許多現代計算機設備成為可能。

傅立葉級數

無論你有沒有聽說過法國數學家、物理學家讓‧巴蒂斯特‧約瑟夫‧傅立葉男爵，他的工作都早已影響了你的生活。他在1822年寫下的數學方程式使研究人員能將複雜、混亂的數據分解成簡單的組合，從而更容易分析。根據《耶魯科學》（Yale Scientific）雜誌上的一篇文章，傅立葉級數的基本思想在提出時是一個激進的概念，許多科學家拒絕相信複雜的系統可以簡化到如此優雅的程度。

然而，在今天的許多現代科學領域，包括數據處理、圖像分析、光學、通訊、天文、工程、金融、密碼學、海洋學和量子力學等領域中，傅立葉級數有著廣泛的應用。例如在訊號處理中，傅立葉級數的典型用途就是將訊號分解為振幅份量和頻率份量。

馬克士威方程式

電和磁在19世紀還是全新的概念，當時的學者們都在研究如何捕捉並利用這些奇怪的物理現象。1864年，蘇格蘭數學家和物理學家詹姆斯‧克拉克‧馬克士威發表了一個包含20個方程的方程組，描述了電場和磁場如何產生作用，以及它們之間的相互關係。該方程組極大地促進了我們對這兩種現象的理解。

現在，馬克士威方程組由四個一階線性偏微分方程式組成，分別是描述電荷如何產生電場的高斯定律、表明磁單極子不存在的高斯磁定律、解釋時變磁場如何產生電場的法拉第感應定律，以及說明電流和時變電場如何產生磁場的馬克士威‧安培定律。這個方程組是所有大學一年級物理系學生都要學習的內容，也為現代科技世界中所有的電子方程式奠定了基礎。

E = mc ^ 2

如果沒有這個著名的方程式，任何一個級數方程式列表都不可能是完整的。1905年，阿爾伯特‧愛因斯坦首次提出了質能等價的概念，即E = mc^2，這是他開創性狹義相對論的一部分。E = mc^2表明，物質和能量是同一個事物的兩面，方程中E代表能量，m代表品質，c代表恆定的光速。

如此簡單的方程中所包含的概念，至今仍讓許多人難以理解，但如果沒有E = mc ^ 2，我們就無法理解宇宙中恆星的存在，也不知道如何建造像大型強子對撞機這樣的巨型粒子加速器，更無法一窺亞原子世界的本質。可以說，這個方程已經成為人類歷史上最著名的方程式之一，並成為了文化的一部分。

弗里德曼方程式

用一組方程式來定義整個宇宙，聽起來似乎是一個狂妄自大的想法，但這正是俄羅斯物理學家亞歷山大‧弗里德曼在20世紀的20年代所提出的重要思想。利用愛因斯坦的相對論，弗里德曼指出，從大爆炸開始，膨脹宇宙的特徵可以用兩個獨立的方程式來表示。

這兩個方程式把宇宙的所有重要參數，包括宇宙的曲率、宇宙包含多少物質和能量、宇宙擴張的速度，與一些重要的常數，如光速、重力常數和哈伯常數等結合起來。這是一個在廣義相對論框架下，描述空間上均一且各向同性的膨脹宇宙模型。

眾所周知，愛因斯坦並不喜歡宇宙膨脹或收縮的觀點，他的廣義相對論認為，這些情況的發生是收到了引力的影響。愛因斯坦試圖將一個標為「λ」的級數添加到愛因斯坦方程式中，作為宇宙學常數，使方程能有靜態宇宙的解。在哈伯提出膨脹宇宙的觀測結果：哈伯紅移之後，愛因斯坦放棄了宇宙學常數，並認為這是他「一生中最大的錯誤」。不過，幾十年後，這一概念又被重新拾起。研究者認為宇宙學常數雖然值很小，但可能不為0；而且該常數可能以暗能量的形式存在，而暗能量推動著宇宙的加速膨脹。

向農公式

大多數人都熟悉構成計算機二進位數字的0和1。但是，如果沒有美國數學家和工程師克勞德‧向農的開創性工作，這一關鍵概念就不會發展起來。在1948年一篇的重要論文中，向農提出了一個方程式，用來表明訊息傳輸的最大效率，通常寫作：C = B * 2log（1+S/N）。

方程式中，C為特定通訊通道可達到的最高無錯誤數據速度，B為通道帶寬，S為平均信號功率，N為平均噪聲功率（S / N表示系統的信噪比）。這個方程的輸出以每秒比特數（bps）為單位。在1948年的論文中，向農將比特（bit）作為「二進位數字」（binary digit）的縮寫，並將其概念歸功於數學家約翰‧W‧圖基。

羅伯特．梅的單峰映像

非常簡單的事情有時會產生難以想像的複雜結果，直到20世紀中期，科學家們才完全理解了這個概念的重要性。當時，混沌理論領域剛剛崛起，研究人員發現，只具有少數部分反饋的系統可能會產生隨機和不可預測的行為。

1976年，澳洲物理學家、數學家、生態學家羅伯特‧梅在《自然》（Nature）雜誌上發表了一篇題為《簡單的數學模型與非常複雜的動力學》（Simple mathematical models with very complicated dynamics）的論文，提出了單峰映像（logistic map），在數學上可寫作：xn+1 = k * xn（1 - xn）。這是一個由簡單非線性方程產生混沌現象的經典範例。

Xn表示當前系統中的某個量，它透過（1 - Xn）所描述的部分對自身進行反饋。K是常數，xn+1表示下一時刻的系統。雖然該方程看起來很簡單，但不同的k值會產生非常不同的結果，包括一些複雜和混亂的行為。羅伯特‧梅的單峰映像被用於解釋生態系統中的種群動態，還能為計算機程式生成隨機數。

資料來源：新浪科技